問４の解答問４の解答
＜解説＞
厚紙の模様を考えずに合同な正三角形の厚紙を４＋２１＝２５枚使うと、（図１）のような正三角形ができます。
（図１）
さて、ここで「模様が線対称」とはどういうことかを考えます。
まず（図２−ａ）のように対称軸を引いてみます。
“線対称”ですから、軸より左側の模様と軸より右側の模様は同じでなければいけません。（（図２−ｂ）参考）
つまり、軸より左側の模様を決めれば、軸より右側の模様はただ１通りに決まります。
結局は、（図２−ｃ）において色をつけた１５個の三角形だけを考えればよいことがわかります。
厚紙の置き方を表にしたのが下の表です。
対称軸上にある５枚は対称軸より左側と右側の模様が一致しなければならないので２種類の厚紙の置き方は１通りしかありません。
対称軸上にない１０枚（左側のみ）は向きは関係なく、どんなに置いてもいいですから、Ａの置き方は３通り、Ｂの置き方は１通りです。
なお、厚紙を下向きに置く場合も上の表と同様です。
ここでＡの厚紙４枚を、「対称軸上にある部分」と対称軸上にない部分の左側のみにどのように置けばいいかを考えます。
対称軸上でない部分の左側に１枚置くと、軸に対して反対側に１枚置かなければなりません。（“線対称”ですから）
よって、Ａの置き方としては、
(1)対称軸上でない部分の左側に２枚（＝対称軸上でない部分に４枚）、対称軸上に０枚
(2)対称軸上でない部分の左側に１枚（＝対称軸上でない部分に２枚）、対称軸上に２枚
(3)対称軸上でない部分の左側に０枚、対称軸上に４枚
の３パターンが考えられます。
ただし、“順列”ではなく“組み合わせ”で考えなければいけないことに注意してください。
また、ＡかＢのどちらかの置く場所をすべて決めれば、残りの厚紙の置く場所が決まるということがわかります。
(1)の場合、
対称軸上でない部分の左側の１０箇所：１０箇所にＡ２枚を置く組み合わせは１０×９÷（２×１）＝４５通り。
Ａの向きを考えると２枚とも前の表で３通りの置き方があるとわかっているので４５×３×３＝４０５通り。
対称軸上の５箇所：これはすべてＢを置くことになるのでただ１通りしかありません。
よって、４０５×１＝４０５通り。
(2)の場合、
対称軸上でない部分の左側の１０箇所：１０箇所にＡ１枚を置く組み合わせは１０通り。Ａの向きを考えると１０×３＝３０通り。
対称軸上の５箇所：５箇所にＡを２枚置く組み合わせは５×４÷（２×１）＝１０通り。
よって、３０×１０＝３００通り。
(3)の場合、
対称軸上でない部分の左側の１０箇所：すべてＢを置くことになるのでただ１通り。
対称軸上の５箇所：Ａを４枚置く組み合わせよりもＢを１枚置く組み合わせと考えたほうが簡単で、５通り。
よって、１×５＝５通り。
以上より、４０５＋３００＋５＝７１０通り。
細かいことですが、問題では「何種類？」と聞かれているので、「…通り」を「…種類」に直しておいた方がいいでしょう。
正解；７１０種類 |