問５解答問５解答
＜解説＞
展開図を組み立てたときの形を知ることさえ困難な超難問です。
立体の形がわかったとしても、体積を求めることは決して容易ではありません。
では、まず第一目標の、立体を描くことからです。（図１−ａ）を見てください。
Ｄの面（青で囲った部分）を底面にします。このとき、一番上にくる面はＡ（緑で囲った部分）になることはすぐ見当がつくと思います。
次に、赤く色をつけた部分に注目します。
この赤い線をつなぐと正六角形になるということがわかりますか？
厳密に説明すると大変なことになりそうなので省略しますが(^-^;、Ｄの面の辺と平行になることなどから判断できます。
これらを利用して上から見た図を書いてみます（図１−ｂ）。
青で囲ったＤの面、Ｄを底面にした時一番上にくる緑で囲ったＡの面、そして赤く色をつけた正六角形を空間に置き、あとはこれに面をはめこんでいけばいいです。
これで上から見た図ができあがりました。
これをもとにして描いた見取り図が（図１−ｃ）です。
（図１−ｃ）を見る限り、このままでは体積を求められそうにありません。
そこで下の（図２）のように、立体を２つに分割して、それらの体積を別々に求めることにします。
まず（図２）で分けた立体のうち、上の方の立体の体積から求めましょう。
同じ立体をもうひとつ用意し、正六角形の面でくっつけます（図３−ａ）。
うまくくっつけると、（図３−ｂ）のように、立方体の中に埋めこむことができます！
では、（図３−ｂ）の立方体の一辺の長さを求めます。
（図３−ｃ）は、（図３−ｂ）を上から見たものです。
Ｂの面の頂点は、立方体の辺の真ん中の点を結んだものになりますから、Ｂの対角線の長さ＝立方体の一辺の長さですね。
正方形は、ひし形の特殊なものですから、ひし形の面積の公式（(対角線)×(もう一方の対角線)÷２）を使うと、面積は
(Ｂの対角線)×(Ｂの対角線)÷２＝７２、すなわち(Ｂの対角線)×(Ｂの対角線)＝１４４となります。
１４４＝１２×１２ですから、立方体の一辺の長さは１２ｃｍです。
（図３−ｂ）の立体の体積は（図３−ｄ）のようにして求められます。
よって、１２×１２×１２−（６×６÷２×６÷３）×８＝１４４０ｃｍ3
これは実際の立体を２つくっつけたものの体積なので、これを２で割って、
１４４０÷２＝７２０ｃｍ3 …(ア)
次に、（図２）で分けた立体のうち、下の方の立体の体積を求めましょう。
先ほどと同じように、同じ立体をもうひとつ用意し、正六角形の面でくっつけます（図４−ａ）。
うまくくっつけると、正八面体ができます。
この正八面体の体積は、（図４−ｂ）のように、やはり立方体に埋め込んでみるとわかりやすいです。（正八面体の頂点は、立方体の各面の中心にあります）
では、（図４−ｂ）の立方体の一辺の長さを求めます。
（図４−ｃ）は、（図４−ｂ）を上から見たものです。
正八面体の一辺の長さは、Ｄの面の一辺の長さ、つまり、Ｂの面の一辺の長さの２倍です。
立方体の一辺の長さもＢの面の対角線の長さの２倍となりますから、立方体の一辺の長さは１２×２＝２４ｃｍです。
（図４−ｂ）の立体の体積は、四角すい２個に分けて体積を求めます（図４−ｄ）。
（２４×２４÷２×１２÷３）×２＝２３０４ｃｍ3
これは実際の立体を２つくっつけたものの体積なので、これを２で割って、
２３０４÷２＝１１５２ｃｍ3 …(イ)
(ア)(イ)から、７２０＋１１５２＝１８７２ｃｍ3
正解；１８７２cm3 |