問９の解答問９の解答
＜解説＞
まずは面積を３等分する点はどこにあるかを調べます。下の図をご覧ください。
三角形ＡＢＣと三角形ＣＤＡは、３辺の長さがそれぞれ等しいので合同ですから、平行四辺形の面積を１とすると、三角形ＡＢＣと三角形ＡＣＤの面積は両方とも1/2です。
点Ａと結ぶ直線によって平行四辺形の面積を３等分する点の内ひとつはＢＣ上（ここにとる点をＭとする）、もうひとつはＣＤ上（ここにとる点をＮとする）にあります。
すると、三角形ＡＢＭの面積は1/3、三角形ＡＤＮの面積も1/3です。
三角形ＡＣＭの面積は三角形ＡＢＣから三角形ＡＢＭを除いたものなので、1/2−1/3＝1/6、三角形ＡＣＮの面積は三角形ＡＣＤから三角形ＡＤＮを除いたものなので、やはり1/2−1/3＝1/6となります。
三角形ＡＢＭと三角形ＡＣＭは、底辺をそれぞれＢＭ，ＣＭとすると、高さは共通ですから、底辺の比は面積の比に等しく（いわゆる“等高底比(とうこうていひ)”です）、ＢＭ：ＣＭ＝1/3：1/6＝２：１となるので、ＢＭ＝１４４×｛２／（２＋１）｝＝９６ｃｍ、ＣＭ＝１４４−９６＝４８ｃｍです。
一方、三角形ＡＤＮと三角形ＡＣＮは、底辺をそれぞれＤＮ，ＣＮとすると、さっきと同様に“等高底比”からＤＮ：ＣＮ＝1/3：1/6＝２：１ですから、ＤＮ＝２４×｛２／（２＋１）｝＝１６ｃｍ、ＣＮ＝２４−１６＝８ｃｍです。
ＡとＰ、ＡとＱを結んだ直線によって、平行四辺形の面積が３等分される可能性があるのは、
（Case１）点Ｐが点Ｍに一致したときにちょうど点Ｑが点Ｎに一致したとき
（Case２）点Ｐが点Ｎに一致したときにちょうど点Ｑが点Ｍに一致したとき
の２ケースです。
平行四辺形の１周の長さは（１４４＋２４）×２＝３３６ｃｍなので、
点Ｐは、３３６÷８＝４２秒で１周し、点Ｑは３３６÷１５＝２２.４秒で１周します。
（Case１）
点Ｐがはじめて点Ｍに一致するのは、（２４＋９６）÷８＝１５秒後であり、その後１周するたび；つまり４２秒ごとに点Ｍに一致します。
よって、その時間は １５，５７，９９，１４１，１８３，２２５，……秒 です。
一方、点Ｑがはじめて点Ｎに一致するのは、（２４＋１４４＋８）÷１５＝１７６／１５秒後で、その後１周するたび；つまり２２.４＝１１２／５＝３３６／１５秒ごとに点Ｎに一致します。
よって、その時間は、初歩的な「文字と式」で（１７６＋３３６×Ａ）／１５秒と表せます（Ａは０以上の整数）。
１７６は３の倍数ではありませんが、３３６は３の倍数ですので、分子（１７６＋３３６×Ａ）は３の倍数ではありません。しかし、分母（１５）は３の倍数です。よって、（１７６＋３３６×Ａ）／１５は３で約分できないので、これは整数になりません。
でもＰがＭに一致する時間というのは必ず整数ですから、点ＰがＭに一致したときににちょうど点ＱがＮに一致することはありえません。
（Case２）
点Ｐがはじめて点Ｎに一致するのは、（２４＋１４４＋８）÷８＝２２秒後であり、その後１周するたび；つまり４２秒ごとに点Ｎに一致します。
よって、その時間は ２２，６４，１０６，１４８，１９０，２３２，……秒です。 …（※）
点Ｑがはじめて点Ｍに一致するのは、（２４＋９６）÷１５＝８＝４０／５秒後であり、その後１周するたび；つまり２２.４＝１１２／５秒ごとに点Ｍに一致します。
よって、その時間は、初歩的な「文字と式」で（４０＋１１２×Ｂ）／５秒と表せます（Ｂは０以上の整数）。
点Ｐがはじめて点Ｎに一致する時間は整数ですから、点Ｑが点Ｍに一致する時間が整数でなければいけません。そのためには４０＋１１２×Ｂが整数でなければいけません。４０は５の倍数ですから、１１２×Ｂも５の倍数でなければいけません。１１２は５の倍数ではないので、Ｂは０か、あるいは５の倍数であればいいですね。
そこでＢに０，５，１０，１５，… を当てはめていくと、８，１２０，２３２，３４４，……秒となり、（※）と共通するもののうち最小の２３２秒が答えです。
正解；２３２秒後 |