問１０の解答

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＜解説＞

問題文の「ある整数（３３３を割る数）」をＡとすると、問題文にある式は、
　３３３÷Ａ＝….……７４９４………
と表せます。　「…」の部分は、どんな数字が来るかはわかりません。

この式に１０を何回かかけて、７４９４が小数点の直前に来るようにしてみましょう（１０を１回かけるごとに、小数点は右にひとつずれます）。
　３３３×１０・・・０÷Ａ＝……….７４９４………
右辺の整数部分をＢとすると、
　３３３×１０・・・０÷Ａ＝Ｂ.７４９４………＝Ｂ＋０.７４９４………
と表せ、さらに両辺にＡをかけると、
　３３３×１０・・・０＝（Ｂ＋０.７４９４………）×Ａ＝Ａ×Ｂ＋Ａ×０.７４９４………
これを変形する（両辺からＡ×Ｂを引く）と、
　３３３×１０・・・０−Ａ×Ｂ＝Ａ×０.７４９４………
となります。

上の式で、ＡもＢも整数ですから、Ａ×Ｂも整数です。　ですから、３３３×１０・・・０−Ａ×Ｂも整数です。
よって、Ａ×０.７４９４………も整数となります。
０.７４９４………という数字は、０.７４９４以上０.７４９５未満ということです。
結局、Ａ×０.７４９４以上Ａ×０.７４９５未満に整数があるようなＡを見つければよいことがわかります。　…（◆）

０.７４９４＝０.７５−０.０００６ ； ０.７４９５＝０.７５−０.０００５　と変形（実はこの変形がポイント！）してから、下のような表を作ります。
ここで、Ｐは「０.７５×Ａより小さい整数のうち最大である数」とします。

（表Ｘ）

０.７５×Ａ−Ｐの値は、　０.７５→０.５→０.２５→１→…　と、周期的に変わっていることがわかります。　…（★）

さて、（◆）や（表Ｘ）を参考にすると、「Ａ×０.７４９４以上Ａ×０.７４９５未満に整数Ｐがある」という状態は次のようなときです。

この図を見ると、０.０００６×Ａは０.７５×Ａ−Ｐ以上でなければいけません。
０.７５×Ａ−Ｐの値は（★）より０.２５以上ですから、０.０００６×Ａが０.２５以上になるには、
０.２５÷０.０００６＝４１６.６６６……
より、Ａは４１７以上である必要があります。
しかし（★）および（表Ｘ）を見ると、０.７５×Ａ−Ｐの値が０.２５になるのは、Ａが３，７，１１，…（４で割ると３あまる数）のときですから、４１７以上の整数で４で割ると３あまる数のうちもっとも小さいのは４１９です（４１７÷４＝１０４ あまり１　ですから、４１７にあと２足せばあまりは３になりますね）。

実際に調べてみると、
４１９×０.７４９４＝３１３.９９８６
４１９×０.７４９５＝３１４.０４０５
となり、４１９×０.７４９４以上４１９×０.７４９５未満に確かに（３１４という）整数があります！

というわけで、答えは４１９！！　…でもちょっと待って下さい。これは現時点では「答えの有力候補」にすぎません。
本当にこれが答えであるのか確かめてみましょう。３３３を４１９で割ってみます。

　３３３÷４１９＝０.７９４７４９４０……

確かに７４９４が出てきましたから、これで４１９が答えであるとわかりました。

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