問１１（算トラ３出題候補問題）の解答問１１（算トラ３出題候補問題）の解答
＜解説＞
台形の面積の公式 （＜上底＞＋＜下底＞）×＜高さ＞÷２ は、（算数的には）使えません。
準備として、問題文の条件通りの長さを記した上のような図を用意しておきます。
さて、まずは台形ＥＦＧＨに注目してみます。
角Ｅを二等分するような直線を引き、ＦＧとの交点をＩとし、また、ＨＧの延長線との交点をＪとします（下の左の方の図）。
三角形ＥＪＨを見ると、角ＥＪＨ＝１８０度−７２度×２＝３６度となります。 …(1)
三角形ＥＩＦと三角形ＥＩＨは合同です（ＥＩは共通、ＥＦ＝ＥＨ、角ＩＥＦ＝角ＩＥＨ だから、「２辺とその間の角がそれぞれ等しい」）。
よって、ＩＦ＝ＩＨ …(2)
また、角ＥＨＩ＝３６度から、角ＩＨＪ＝７２度−３６度＝３６度です。 …(3)
ここで、三角形ＨＩＪを見ると、(1)(3)より、ＩＨ＝ＩＪの二等辺三角形です。
したがって、(2)からＩＦ＝ＩＪとなります …(4)
三角形ＥＩＦと三角形ＧＩＪは合同です（ＩＦ＝ＩＪ、角ＥＩＦ＝角ＧＩＪ（対頂角）、角ＥＦＩ＝角ＧＪＩより「１辺とその両端の角がそれぞれ等しい」）。 …（★）
よって、ＥＩ＝ＧＩ …(5)
台形ＥＦＧＨの面積は、台形ＥＩＧＨと三角形ＥＦＩの面積の和ですが、（★）より、台形ＥＩＧＨと三角形ＧＩＪの面積の和、つまり二等辺三角形ＥＪＨの面積に等しいですね。
また、(4)(5)から、ＦＧ＝ＩＦ＋ＩＧ＝ＩＨ＋ＩＪ＝ＥＪです。
準備しておいた図から、台形ＥＦＧＨと面積が同じ三角形ＥＪＨの３辺の長さの関係は、上の右の方の図の通りです。
次に、台形ＡＢＣＤを考えてみましょう。
ＢＡとＣＤ、それぞれの延長線の交点をＫとします。
台形ＡＢＣＤの面積は、三角形ＢＫＣから三角形ＡＫＤを取り除いたものです。
さて、三角形ＡＫＤと三角形ＢＫＣは三角形ＥＪＨと相似です（上のように角度を記入してみればわかります）。
三角形ＥＪＨと三角形ＡＫＤの相似比は、ＥＨ：ＡＤ＝１：２。 …(6)
三角形ＡＫＤと三角形ＢＫＣの相似比は、ＥＪの長さを２としたとき、(6)よりＡＫ＝２×２＝４だからＢＫ＝５と表せるので、ＡＫ：ＢＫ＝４：５。 …(7)
(6)(7)をまとめると、３つの三角形の相似比は、
（三角形ＥＪＨ）：（三角形ＡＫＤ）：（三角形ＢＫＣ）＝２：４：５
となりますから、面積比は、
（三角形ＥＪＨ）：（三角形ＡＫＤ）：（三角形ＢＫＣ）＝２×２：４×４：５×５＝４：１６：２５
となります。
あとは計算だけです。
面積比 （台形ＡＢＣＤ）：（台形ＥＦＧＨ）
＝（三角形ＢＫＣ）−（三角形ＡＫＤ）：（三角形ＥＪＨ）
＝２５−１６：４
＝９：４
正解；９：４ |