問２２の解答問２２の解答
＜解説＞
地道に数え上げても解けないことはないですが、それではいかにも数え間違えそうなので、ここではなるべく数え上げないような解法を考えます。
※問題文より「０」は入っていないことにも注意してください。
まずは、「各位の数字をすべて足すと１０になる数」は何通りあるかを考えます。
これは実は、ボールを１０個並べて仕切りを入れる方法と考えることができます。
仕切り（あるいは両端）で区切られたボールの数が、その位の表す数字として考えるのです。
● ● ● ● ● ● ● ● ● ●とボールを並べたとき、たとえば、１２３４を仕切りを入れて表すと
●｜● ●｜● ● ●｜● ● ● ● １ ２ ３ ４となります。
仕切りの入るのは９箇所ありますから、それぞれの場所に仕切りを入れたりいれなかったりすることでそれぞれ異なる整数を作れます。
●｜●｜●｜●｜●｜●｜●｜●｜●｜●
よって、２×２×２×２×２×２×２×２×２＝５１２通りあります。
しかし、仕切りを１つも入れない場合はいけません（１０進法は、１桁で「１０」を表す事はできませんね）から、１つ少なくて５１１通りです。
あとは、これから「どの位にも４以上の数字が存在しない整数」…すなわち「各位がすべて１か２か３の整数」を引けばいいわけです。
これは、各位の和が少ない数から考えて、１の位の数字によって場合分けすると、実は「トリボナッチ数列」（ある項は前３項の和であるような数列）であることがわかります。
和が１…１ の１個のみ
和が２…１１，２ の２個
和が３…１１１，１２，２１，３ の４個
和が４…（３＋１型）１１１１，１２１，２１１，３１ （２＋２型）１１２，２２ （１＋３型）１３ の計（４＋２＋１＝）７個
和が５…（４＋１型）７個、（３＋２型）４個、（２＋３型）２個 の和…７＋４＋２＝１３個
和が６…１３＋７＋４＝２４個
和が７…２４＋１３＋７＝４４個
和が８…４４＋２４＋１３＝８１個
和が９…８１＋４４＋２４＝１４９個
和が１０…１４９＋８１＋４４＝２７４個
したがって、５１１−２７４＝２３７個と求まります。
正解；２３７個 |