問２３の解答問２３の解答
＜解説＞
いくつか方法が考えられますが、いずれも「円内部の交点の数」がポイントとなるでしょう。
まず、操作後に線分が最大になるときはどういうときかを考えます…が、直感でもわかるでしょう。
円の内部に引かれる３本の直線を取り出して考えてみます。
３本の直線が１点で交わるときと、そうでないときの図を描いてみました。
この２つのケースを比べると、交点を消しゴムで消すとどちらの方が線分が多くなるかは…見てのとおりわかりますよね！(^^;
というわけで、円の内部では、どの３つの直線も１点で交わらない（つまり、どの交点でも交わっている直線は２本だけの）ときに、線分の数は一番多くなります。
（円周上では、後で述べるように１０本の直線が交わる場所があるので、“円の内部では”という断り書きがないと厳密にはマズイわけです）
というわけで、本題。
突然ですが、次のような約束をしておきます。
・線分の両端には●印をつける
・円周上の点には◆印をつける
・円の内部の交点には■印をつける
線分１本につき●は２つつきますから、●の数の半分が求めたい数となります。
方針としては、「◆を全部消したときにできる●の数を求める」→「■を全部消したときにできる●の数を求める」と考えてみます。
[その１]〜◆（円周上の点）を消しゴムで消す。〜
◆の１つに注目すると、ここから他の円周上の点１０個に線を引くことになります。
この◆を消しゴムで消すと、線分の端が１０個できます。
他の◆でも同じことがいえるので、◆を全部消すと、●は
１０×１１＝１１０個現れます。
[その２]〜■（円の内部の交点）を消しゴムで消す。〜
どの交点でも交わっている直線は２本だけですから、■を１つ消しゴムで消すと、線分の端が４個できます。
あとは、円の内部にできた交点の数を数えれば解決ですが…なかなか難しいですね。
ここで、４つの◆を適当に選んで結べるだけ線を引いてみてください。
すると、円の内部に交点が１個だけできましたよね！
これはつまり、交点の数は、１１個の◆から４個を選ぶ場合の数と同じなんですね。
というわけで、■は１１×１０×９×８÷（４×３×２×１）＝３３０個あるので、●は
３３０×４＝１３２０個現れます。
以上より、●は１１０＋１３２０＝１４３０個あるので、線分はこの半分の７１５本あります。
| 正解；７１５本 |