問２６の解答問２６の解答
＜解説＞
相当な難問です。
前半の「明らかに条件を満たす整数捜索」はともかく、後半の「それ以外の整数は条件を満たさないことの証明」はコロンブスの卵的発想？
しかし、前半も後半も当たり前な事柄が決め手となります。
まず、「各位の数字がすべて同じ整数」は、
『１１..１１×● （●は１以上９以下の整数）』
と表すことができます。
さてとりあえず「１１..１１（各位がすべて１である整数）」に注目してみましょう。
有名な倍数判定法で次のようなものがありましたね。
・２の倍数判定…１の位が０か２か４か６か８ならばその整数は２の倍数である。
・５の倍数判定…１の位が０か５ならばその整数は５の倍数である。
逆にいえば、この条件を満たさない整数は２の倍数や５の倍数ではないわけです。
「１１..１１」の１の位は絶対に１ですから、「１１..１１」は２の倍数でも５の倍数でもありません。
ここで『１１..１１×●』に戻り、条件を満たすような整数を見つけていきましょう。
[１]『１１..１１×●』が２の倍数だが５の倍数ではないとき
●＝８（＝２×２×２）とすると、『１１..１１×●』は８の倍数となります。（８の倍数は２の倍数や４の倍数を含んでいます）
しかし、２×２×２×２＝１６の倍数というのはできません。（「１１..１１」が２の倍数でないので、●＝１６(以上)でなければいけなくなります）
というわけで、□が１６の倍数のとき、条件を満たします。
[２]『１１..１１×●』が５の倍数だが２の倍数ではないとき
●＝５とすると『１１..１１×●』は５の倍数となります。
しかし、５×５＝２５の倍数というのはできません。（「１１..１１」が５の倍数でないので、●＝２５(以上)でなければいけなくなります）
というわけで、□が２５の倍数のとき、条件を満たします。
[３]『１１..１１×●』が２の倍数だが５の倍数のとき
「１１..１１」が２や５の倍数でないので、●＝１０(以上)でなければいけなくなりますが、●は１以上９以下なのでそれを満たすような●はありません。
というわけで、□が１０の倍数のとき、条件を満たします。
ここまでで、□が１６の倍数か２５の倍数か１０の倍数であれば、条件を満たすことがわかりました。
１以上１０００以下の整数で、条件を満たす整数の個数を求めましょう。
地道に数えていくこともできますが、ここではベン図を使って考えてみましょう。
１０００÷１６＝６２あまり８→６２個＝ア＋イ＋エ
１０００÷２５＝４０個＝ア＋ウ＋オ
１０００÷１０＝１００個＝ア＋イ＋ウ＋カ
１０００÷４００＝２あまり２００ →２個 ＝ア （４００は、１６と２５と１０の最小公倍数）
１０００÷８０＝１２あまり４０→１２個＝ア＋イ（８０は１６と１０の最小公倍数）より、１２−２＝１０個＝イ ６２−１２＝５０個＝エ
１０００÷５０＝２０個＝ア＋ウ（５０は２５と１０の最小公倍数） より、２０−２＝１８個＝ウ、４０−２０＝２０個＝オ
求めたい個数は（ア＋イ＋ウ＋カ）＋エ＋オ＝１００＋５０＋２０＝１７０個です。
これで正解は１７０個…といきたいところですが、ここまでで厳密に議論できたのは１６の倍数と２５の倍数と１０の倍数のみです。
□がそれ以外のときはどのように考えたらいいのでしょうか？
実は、２の倍数や５の倍数以外ならどんな整数の倍数の中にも「１１..１１」という形のものが存在しているのです！
それを証明してみましょう。
２の倍数でも５の倍数でもない整数★を用意し、（★＋１）個の整数
１，１１，１１１，…，１１..(１が★＋１個並ぶ)..１１を次々と★で割っていきます。
すると、余りが同じになるようなものが必ず出てきます。
ここで「何故？」と思ってしまうかもしれないのですが、言われてみれば「なーんだ」と思うことでしょう。
★で割った余りというのは何通り考えられるでしょうか？ ０，１，２，…，（★−１）の★通りですよね。
しかし、ここでは（★＋１）個の異なる整数を★で割りました。★通りのあまりを（★＋１）個の整数に全部異なるように振り分けることは…もちろん不可能ですから、必ず余りが同じモノが出てきてしまいます。
次に、★で割った余りが同じである２数の差は、★の倍数であることを考えます。
このような２数を引くとあまりは消えちゃいますし、★の倍数から★の倍数を引くともちろん★の倍数ですから、これは簡単に説明がつきます。
さて、この２数の差を筆算で書いてみると、
１１..１１１１..１１ − １１..１１ ----------------------- １１..１１００..００
となりますから、１１..１１００..００が★の倍数になるわけです。
ところで、１１..１１００..００＝１１..１１×１００..００と表すことができます。
★は２の倍数でも５の倍数でもないと仮定しましたから、１００..００と★は互いに素（最大公約数は１）です。
このことから、★は１１..１１で割りきれなければならないことがわかりました。
つまり、２の倍数でも５の倍数でもない整数★の倍数の中には１１..１１で表されるものの存在が示されました。
というわけで、□が１６の倍数か２５の倍数か１０の倍数の場合のみ条件を満たし、その個数は１７０個です。
| 正解；１７０個 |