算数限界編問33の解答

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<解説>

図はシンプルですが、意外に難しい問題です。 あることに気がつくかどうか…

まずは、角HAC=とします。すると、問題文より=60度となります。

さて、ここで60度を3倍すれば180度、つまり一直線になります。
3×(▲)=3×60=180度なので、が3個分、も3個あれば一直線を作れますが、3個と1個はすでに図にあります。
ということで、あとは2個あれば一直線のできあがりですね。


ここで右図をご覧ください。
三角形AHCを、ACを軸にして折り返して三角形AH'Cを作り、さらに三角形AH'CをAH'を軸にして折り返して三角形AH'C'を作ったところです。
すると、頂点Aにはが3個、も3個集まるので、3点B・A・C'は一直線上にあることになります。
しかも、3点C'、H'、Cも一直線上にあります。(その理由は明らかですね)
つまり、巨大な三角形C'BCが完成したというわけです。

このことに気付けば、あとは簡単です!


三角形AHCの面積を11としてみます。すると当然三角形AH'Cと三角形AH'C'の面積も11ですね。
三角形C'ACと三角形ABCの面積比はC'A:AB=22:14です。(「線分比と面積比」の考えによる)
三角形CAC'の面積は、11×2=22と表されるので、三角形ABCの面積は14となります。
三角形ABHの面積は、三角形ABCから三角形AHCを引けば14−11=となります。

三角形ABHと三角形AHCは、それぞれBHとHCを高さと見ると、高さはともにAHとなるので、「線分比と面積比」の考えにより、(三角形ABHの面積):(三角形AHCの面積)=3:11=BH:HCとわかるのです。


正解;3:11

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