問３５の解答問３５の解答
＜解説＞
例によって、枚数を少なくして規則を見つけるのが方針ですが、見慣れない規則のため苦労させられるでしょう。
まずは、カードの並べ方をわかりやすく「視覚化」することにしましょう。
カードの隣に来ることができる数を線で結ぶことにすると、１２枚カードを並べる場合は、次のようになります。
こうすると、カードの並べ方を「同じ道は通らずにすべての番号を通る道順の問題」としてとらえることができますね。
もちろん、上下どちらの表し方でもいいわけですが、特に断りのない限り上の表記で統一することにします。
でもいきなり１２枚の場合で考えるのは大変ですから、カードの枚数をもっと少なくして“実験”してみることにします。
実験することによって、何らかの規則を発見する、という狙いです。
・カードが１枚…当然１通り。
・カードが２枚…１→２ の１通り。
・カードが３枚…１→２→３ １→３→２ の２通り。
・カードが４枚…１→２→３→４ １→２→４→３ １→３→２→４ １→３→４→２ の４通り。
…まったく規則は見えてきませんね。
では、カードが５枚の場合を詳しく調べてみると…
・１→２ の順に通るとき。
残りの道を取り出すと、実はカードを４枚並べるとき（＝カードを１枚少なくしたとき）とまったく同じ状況になります。
２〜５のカードの数字をそのまま１〜４に置きかえればいいわけです（図２の、カードが４枚の図とはちょっと違いますが、上下が逆なだけで本質的には同じですね）。
よって、４通り（１→２→３→４→５ １→２→３→５→４ １→２→４→３→５ １→２→４→５→３）の通り方があります。
・１→３→２ の順に通るとき。
次は４に進むしかありません。
残りの道を取り出すと、今度はカードを２枚並べるとき（＝カードを３枚少なくしたとき）とまったく同じ状況です。
よって、このケースでは１通り（１→３→２→４→５）の通り方があります。
・それ以外の通り方のとき。
１→３→５ の順に通ると、１→３→５→４→２ の順に進むしかなく、１通りとなります。
１→３→４ の順に通ると、右上の番号と左下の番号のどちらかが通れなくなるので手詰まり。
（つまり、それ以外の通り方をするには、右上の番号と左下の番号の両方を通るために、ずっと右に進み上段の奇数をすべて通ってから下段に下りてずっと左に進みすべての偶数を通る１通りしかないのです） …（★）
以上から、
（カードが５枚の並べ方）＝（カードが４枚の並べ方）＋（カードが２枚の並べ方）＋１＝４＋１＋１＝６通り と表せるわけです。
この考えは、カードが６枚以上のときにも使えます。
・１→２の順に通るときは、残りの道を取り出すと、カードを（１枚少なくした）５枚並べるときとまったく同じ状況。
・１→３→２の順に通るときは、４まで進んだ残りの道を取り出すと、カードを（３枚少なくした）３枚並べるときとまったく同じ状況。
・それ以外の通り方としては、（★）の通り方、つまり １→３→５→６→４→２ しかありません。
よって、（カードが６枚の並べ方）＝（カードが５枚の並べ方）＋（カードが３枚の並べ方）＋１＝６＋２＋１＝９通り です。
これで規則がわかりましたね！ あとは計算していくだけです。
（カードが７枚の並べ方）＝（カードが６枚の並べ方）＋（カードが４枚の並べ方）＋１＝９＋４＋１＝１４通り
以下同様に、
（カードが８枚の並べ方）＝１４＋６＋１＝２１通り
（カードが９枚の並べ方）＝２１＋９＋１＝３１通り
（カードが10枚の並べ方）＝３１＋１４＋１＝４６通り
（カードが11枚の並べ方）＝４６＋２１＋１＝６８通り
（カードが12枚の並べ方）＝６８＋３１＋１＝１００通り
よって、答えは１００通り、となります。
| 正解；１００通り |