問46の解答問46の解答
＜解説＞
この手の立方体の穴あけ問題は「１段ずつスライスして考えよ」が定石なのですが、この問題ではそれは面倒過ぎます。
（１段スライスするだけで２７×２７＝７２９個の升目が必要になってきます）
そこで、穴のあけ方の規則性に注目してみましょう。
まずは、以下の問題を考えてください。
『３×３×３＝２７個の小立方体を積み上げて大きな立方体を作ります。 この立体の中心に図のように穴を開け、向かい側の面までまっすぐ通します。 穴を開けた後の立体の体積は、もとの立方体の体積の何倍ですか？』
説明：取り除かれた部分は下の図のようになります。
結局、小立方体が７個取り除かれたことになるんですね。
よって、体積はもとの （２７−７）÷２７＝２０／２７倍。 …＜★＞
今回の限界編は、これを利用します。
たっくさんの穴が開いてしまってますが、穴の大きさ別に考えていきます。
まずは一番大きい穴だけを相手にします。
各面に開いた穴の大きさは、１辺が９cmの正方形の形です。
そこで、次のように９cmごとに区切り線を入れてみると…
どうでしょう？ さきほどの＜★＞の問題とまったく同じ状況であることがわかりますよね？
というわけで、一番大きい穴だけを開けると、もとの立方体の体積の２０／２７倍となります。 …＜ア＞
次に、中型の穴だけを開けます。
各面に開いた穴の大きさは、１辺が３cmの正方形の形です。
そこで、次のように３cmごとに区切り線を入れてみると…
一見複雑そうに見えますが、結局薄く色付けした立体が集まったもの、と考えることができます。
色付けした立体の体積は、＜★＞より大きなの穴を開ける前の２０／２７倍です。
したがって、中型の穴を開けると、＜ア＞の時と比べて更に２０／２７倍となります。
つまり、もとの立方体の体積の（２０／２７）×（２０／２７）倍ですね。 …＜イ＞
最後に、一番小さな穴を開けてみます。
各面に開いた穴の大きさは、１辺が１cmの正方形の形です。
そこで、次のように１cmごとに区切り線を入れてみると…
もう予想はできると思いますが、さっきと同じく、やっぱり薄く色付けした立体が集まったものなんですね。
色付けした立体の体積は、＜★＞より中型の穴を開ける前の２０／２７倍です。
したがって、小型の穴を開けると、＜イ＞の時と比べて更に２０／２７倍となります。
つまり、もとの立方体の体積の（２０／２７）×（２０／２７）×（２０／２７）倍ですね。 …＜ウ＞
というわけで、求めたい立体の体積は、
２７×２７×２７×（２０／２７）×（２０／２７）×（２０／２７）＝８０００cm3
とわかります。
正解；８０００cm3 |