問47の解答問47の解答
＜解説＞
まず次のように補助線を引きます。（こんなん思いつかねえ！ていうツッコミは却下の方向で(^^;;）
角ＡＢＤを二等分する線を引き、ＣＤの延長線との交点をＥとします。
また、角ＡＢＥを二等分する線を引き、ＡＤとの交点をＦとします。
いま、角ＡＣＤ＝●と表すことにすると、問題文より、
角ＣＡＤ＝●●、角ＢＤＣ＝●●●●と表せます。
以下、ＡＢとＣＤが平行なことなどを考慮すると、図のように角度の大きさがわかります。
次に、△ＤＡＢと△ＤＢＦは、２組の角度の大きさが等しい（角ＤＡＢ＝角ＤＢＦ、角ＡＤＢ＝角ＢＤＦ）ので相似です。
したがって、比例式 ＤＡ：ＤＢ＝ＤＢ：ＤＦ が成立します。 …★
ここで、△ＤＢＥは角ＤＢＥ＝角ＤＥＢより、ＤＢ＝ＤＥです。
これをさきほどの比例式★にあてはめると、
ＤＡ：ＤＥ＝ＤＥ：ＤＦ となります。 …☆
この式をもとに、△ＤＥＡと△ＤＦＥに注目します。
この２つの三角形は、☆より２組の辺の比が等しく、さらにその間の角（角ＡＤＥと角ＥＤＦ）も共通なので等しいです。
したがって、△ＤＥＡと△ＤＦＥは相似な三角形であることがわかります。
したがって、角ＤＡＥ＝角ＤＥＦです。 …（Ａ）
ところで、△ＡＢＣは、角ＢＣＡ＝ＢＡＣよりＢＣ＝ＢＡです。
そして、△ＢＣＥは、角ＢＣＥ＝角ＢＥＣよりＢＣ＝ＢＥです。
このことから△ＢＥＡは、ＢＥ＝ＢＡの二等辺三角形であることがわかります。
さあ、答えまでもう一息です。
△ＢＥＦと△ＢＡＦにおいて、
ＢＥ＝ＢＡ、ＢＦ共通、角ＥＢＦ＝角ＡＢＦより、２辺とその間の角が等しいので合同。
よって角ＢＥＦ＝角ＢＡＦ＝●●●です。 …（Ｂ）
また、ＦＥ＝ＦＡより△ＦＥＡは角ＦＥＡ＝角ＦＡＥの二等辺三角形です。 …（Ｃ）
（Ａ）（Ｂ）（Ｃ）より、角ＤＥＦ＝●●●●●＝角ＦＡＥ＝角ＦＥＡ。
また、△ＦＤＥにおいて三角形の外角の性質を使うと、角ＥＦＡ＝●●●●●●●●。
以上より、△ＦＥＡの内角はすべて●を使って表すことができ、
●（５＋５＋８＝）１８個分が１８０度になりますから、●＝１０度。
（１）内角Ａ＝１０×３＝３０度
（２）内角Ｂ＝１８０−１０×２＝１６０度
正解；（１）３０° （２）１６０° |