算数限界編問66の解答

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<解説>
角の二等分線があるので、とりあえず「アレ」の出番ということになりますが…その後にもう一山あります。


△DPCをPCについて折り返し△FPCをつくり、△EBPをBPについて折り返し△GBPをつくります。

すると、上の図のようになります。当然、△DPCと△FPCは合同、△EBPと△GBPは合同です。…(壱)
また、BG=BE=12cm、求めたいCDの長さはCFの長さと等しくなります。
●●■■=180−120=60度なので●■=60÷2=30度。△PBCの外角より、角EPB=角DPC=●■=30度。
角EPD=180−30=150度、角GPF=180−30×3=90度です。…(弐)

高さの等しい三角形が沢山あるので、ここからは底辺比と面積比に着目します。

△EPDの面積を[1]とすると、△EBP:△EPD=5:1であることと(壱)より、△EBP=[5]=△GBP。
あとは△GFPの面積が求まれば、△PBC:△PCD=BP:PD=5:1から、何とか答えが求まりそうです。

右の図は、△GFPと△PDEをくっつけたものです。
折り返しよりPG=PE・PF=PDは明らかなので、辺をぴったりとくっつけられます。
なお、図では△PGF→△アイウ・△PDE→△ウエアとなっています。
角アウエ=150度に着目すると、三角定規(△ウエオ)をつくることができます。
△ウエオは正三角形の半分で、エオの長さはウエ(=ウイ)の長さの半分です。…(参)

面積比△アイウ:△ウエアは、底辺アウ共通、高さの比は(参)よりウイ:エオ=2:1。
△ウエア→△PDEの面積は[1]なので、△アイウ→△PGFの面積は[2]ですね。

ここまでくれば、答えは目前です。

△PBC:△PCD=BP:PD=5:1です。
△DPC=△FPCの面積を[X]とおくと、△PBC:△PCD=([7]+[X]):[X]=となります。
すると、△PBCと△PCDの面積差5−1=が[7]にあたるので、[7]÷4=[1.75]がXです。
BG:FC=△PBG:△PFC=[5]:[1.75]=20:7です。

よって、FC=CDは12×7÷20=4.2cmと求まります。

正解;21/5[4.2]cm


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