問72の解答

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＜解説＞

一辺の長さがすべて整数で、縦の長さが３cmなので、一辺が１cm・２cm・３cmの正方形に切り分ける事になります。
少し考えると、切り分け方のパターンは次の４つしかないことはすぐにわかると思います。…★

この４パターンの組み合わせを地道に調べていく方法もありますが、かなり面倒臭いです。
そこで、横の長さを段々長くして考えていくと、何かが分かるかもしれません。

長方形の横が１cm、２cm、３cmの場合は、次のようにそれぞれ１通り、３通り、６通りとなります。

では、横４cmの場合はどうでしょうか？
左の切り分け方が、★のどれになっているかに注目すると…

横４cmのときは、灰色部分の切り分け方のところが横１cm、２cm、３cmの場合を利用して、
(横４cmの切り方)＝(横３cmの切り方)＋(横２cmの切り方)×２＋(横１cmの切り方)＝６＋３×２＋１＝１３通り
となりますね。この考え方は横の長さがもっと長くなっても使えます。

そろそろ慣れましたか？
(横５cmの切り方)＝(横４cmの切り方)＋(横３cmの切り方)×２＋(横２cmの切り方)＝１３＋６×２＋３＝２８通り

この要領で、次々に求めていくことができます。
(横６cmの切り方)＝(横５cmの切り方)＋(横４cmの切り方)×２＋(横３cmの切り方)＝２８＋１３×２＋６＝６０通り
(横７cmの切り方)＝(横６cmの切り方)＋(横５cmの切り方)×２＋(横４cmの切り方)＝６０＋２８×２＋１３＝１２９通り
(横８cmの切り方)＝(横７cmの切り方)＋(横６cmの切り方)×２＋(横５cmの切り方)＝１２９＋６０×２＋２８＝２７７通り
(横９cmの切り方)＝(横８cmの切り方)＋(横７cmの切り方)×２＋(横６cmの切り方)＝２７７＋１２９×２＋６０＝５９５通り
(横10cmの切り方)＝(横９cmの切り方)＋(横８cmの切り方)×２＋(横７cmの切り方)＝５９５＋２７７×２＋１２９＝１２７８通り

※中学生以上で学習する数列の表し方だと、以下のようになります。
縦３cm、横Ncmの切り分け方をＡ[N]と表すことにすると、N≧４のとき
Ａ[N]＝Ａ[N-1]＋２×Ａ[N-2]＋Ａ[N-3]と表せます。

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