問１４の解答問１４の解答
＜解説＞
この問題のテーマは『展開図が正方形になる特殊な三角すい』です。
まずは切断面を考えます。
２つの平行な平面と、ある一つの平面とが交わってできる直線は平行になることに注意すると、切断面は下図のような台形ＰＦＨＱ（詳しく言うと、“等脚台形”）になります。
直角二等辺三角形ＦＧＨと三角形ＰＣＱは相似ですから、三角形ＦＧＨは直角二等辺三角形なので、三角形ＰＣＱも直角二等辺三角形でＣＰ＝ＣＱ。
ＣＰ＝３ｃｍなので、ＣＱ＝３ｃｍ。つまり、Ｑは辺ＣＤの真ん中の点です。
次に、ＦＰとＨＱとＧＣをそれぞれ延長した線を考えてみます。
すると、これらの線は下図のように点Ｒで交わります。
２つの直角三角形・三角形ＲＣＱと三角形ＨＤＱは合同です（ＣＱ＝ＱＤ、角ＲＣＱと角ＨＤＱは直角、角ＲＱＣ＝角ＨＱＤ）。 …（◆）
よって、ＲＣ＝ＨＤ＝６ｃｍです。
切断面から点Ｇまでの高さを求めるのですから、答えを導く方針は‘三角すいＲ−ＦＧＨの体積を求め、面ＲＦＨを底面とした時の高さを求める’です。
まず三角すいＲ−ＦＧＨの体積は、 ６×６÷２×１２÷３＝７２ｃｍ3です。
ここで三角すいＲ−ＰＣＱに注目してください。
ＡとＰ、ＡとＱを結ぶと、三角形ＲＰＱと三角形ＡＰＱは合同です（ＰＱは共通、ＲＰ＝ＡＰ、ＲＱ＝ＡＱ ※ＲＰ、ＲＱ、ＡＰ、ＡＱはすべて「直角をはさむ２辺の長さが３ｃｍと６ｃｍの直角三角形の残りの一辺」）。
三角形ＡＰＱの面積は、正方形ＡＢＣＤから３つの直角三角形の面積を引き、 ６×６−（３×６÷２×２＋３×３÷２）＝１３.５ｃｍ2
よって、三角形ＲＰＱの面積も１３.５ｃｍ2となります。
右上の正方形を、紫と緑の線を折り目として折ってみると、実は立体Ｒ−ＰＣＱと合同な立体ができます。 …（☆）
さらに、三角形ＲＰＱと三角形ＲＦＨは相似で、（◆）より相似比はＲＱ：ＲＨ＝１：２です。
したがって、相似比は１×１：２×２＝１：４ですから、三角形ＲＦＨの面積は１３.５×４＝５４ｃｍ2です。
あとはもう簡単ですね。
５４ｃｍ2×（ ？ ）ｃｍ÷３＝７２ｃｍ3 を満たす（ ？ ）を考えればよいのですから、
（ ？ ）＝４ と求まります。
（注）解説を見ると「算数限界編」でも使えそうなネタに見えますが、（☆）の立体は中学入試ではあまりに有名なため、こちらの方で出題しました。
正解；４cm |