算数実戦編問22の解答

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<解説>

この問題を解く前に、2つの準備が必要です。
とはいっても、どちらも中学入試では是非知っておきたい事柄なので、知っている方も多いでしょう。

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[有名な事実]〜接する2円の性質
2円が1点で外側で接している時、2円の中心を直線で結ぶと、その直線は2円の接点を通る。
外接する2円の性質
まあ当たり前といえることでしょう。
この事実は、図形のころがし移動でもおなじみですね。
無意識にこの事実を使って解いているはずです。

[有名な定理]〜線分比と面積比
下図の三角形DBEの面積と三角形ABCの面積の比は、a×c:b×dである。
線分比と面積比
三角形ABEと三角形ABCは、底辺をそれぞれBE、BCと見ると、高さは等しいので、面積比は底辺比に等しくなるので、三角形ABEの面積と三角形ABCの面積の比はa:b。
また、三角形ABEと三角形DBEは、底辺をそれぞれAB、DBと見ると、高さは等しいので、面積比は底辺比に等しくなるので、三角形ABEの面積と三角形DBEの面積の比はc:d。
まとめると、三角形DBEの面積と三角形ABCの面積の比は、a×c:b×d

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さて本題。
問題図の3円の中心(半径の大きい方から順にP、Q、Rと名付けます)を結ぶと、[有名な事実]より、2円の接点を通ります。
また、2円の接点を、次の図のようにX、Y、Zと名付けます。
解説図

QR=3cm、RP=4cm、PQ=5cmとなることから、『辺の長さの比が3:4:5の三角形は直角三角形』なので、三角形PQRは、角PRQ=90度の直角三角形となり、面積は、4×3÷2=6cm2です。

求めようとしている三角形XYZの面積は、三角形PQRから余分な三角形(三角形PYZ・QXZ・RXY)を引きます

[有名な定理]より、三角形の面積比を順次求めていきます。
 ・三角形PYZ:三角形PQR=3×3:4×5=9:20
 ・三角形QXZ:三角形PQR=2×2:3×5=4:15
 ・三角形RXY:三角形PQR=1×1:4×3=1:12

三角形PQRの面積を60(20と15と12の最小公倍数です)とすると、面積比
三角形PQR:三角形XYZ=60:(60−9×3−4×4−1×5)=60:12=5:1

ゆえに、三角形XYZの面積は、6×1/5=6/5(=1.2)cm2となります。

正解;1.2cm2

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