算数実戦編問24の解答

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<解説>

うまく補助線を引くとぐっと見通しが良くなる問題です。『AB=CD』の条件を生かせるようにするには?

対角線BDの真ん中の点をQとし、QとM、QとNを結びます。

補助線

三角形ABDと三角形MQDは、AD:MD=BD:QD=2:1、角ADB=角MDQより、「2組の辺の比とその間の角が等しい」ので相似です。
同様に、三角形DBCと三角形QBNは、DB:QB=CB:NB=2:1、角DBC=角QBNより、「2組の辺の比とその間の角が等しい」ので相似です。
(注)これは要するに「中点連結定理」ですね。中学生以上はもちろん、上位校志望の小学生であれば知っているでしょう。

三角形ABDと三角形MQDは相似なので、ABとMQは平行です。 …(ア)
また、三角形DBCと三角形QBNも相似なので、DCとQNも平行です。 …(イ)

さて次の事柄が最大のポイント。「AB=CD」という条件をうまく使います。
三角形ABDと三角形MQDの相似比は2:1ですから、MQ=1/2×ABです。
また、三角形DBCと三角形QBNの相似比も2:1ですから、QN=1/2×DCです。
ところで、AB=CDですから、MQ=1/2×AB=1/2×DC=QNです。
よって、三角形MQNは、QM=QNの二等辺三角形となります。 …(ウ)

ここまででわかったことを図にまとめてみましょう。

まとめ

(ア)より角MQD=25°、(イ)より角BQN=98°なので角PQN=180−98=82°です。
(ウ)より角QMN=角QNMであり角MQN=25+82=107°ですから角QMN=(180−107)÷2=36.5°とわかります。

よって、三角形MQPに注目すると、角MPQ=180−(25+36.5)=118.5°(=角MPB)となります。

正解;118.5°

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