問55の解答問55の解答
＜解説＞
まずは超有名定理の確認。
次の図において、ＢＰ：ＰＤ＝ア：イのとき、面積比△ＡＢＣ：△ＡＣＤはア：イになります。(★)
これは、△ＡＢＰ：△ＡＰＤも△ＢＣＰ：△ＰＣＤもア：イであることから容易に導けます。
今回の問題に、さっそくさきほどの★を使いましょう。
ＰＸ：ＸＤ＝１：６より、△ＡＰＱ：△ＡＱＤ＝１：６ …(甲)
ＭＹ：ＹＤ＝２：９より、△ＡＭＮ：△ＡＮＤ＝２：９ …(乙)
ところで、(甲)(乙)の△ＡＱＤと△ＡＮＤはともに長方形ＡＢＣＤの半分なので、面積は等しいですね！
そこで、△ＡＱＤ＝△ＡＮＤ＝[１８](６と９の最小公倍数)と置き直してみます。
すると、△ＡＰＱ＝[３]、△ＡＭＮ＝[４]ですね。
△ＡＭＱの面積は、△ＡＭＮと比べて、底辺ＡＭは共通・高さＢＱはＢＮの２倍なので、[４]×２＝[８]。
△ＡＰＱ＝[３]、△ＰＭＱ＝[８]−[３]＝[５]なので、ＡＰ：ＰＭ＝３：５。
ＰＭ＝ＭＢですから、ＡＰ：ＰＢ＝３：５×２＝３：１０です。
正解；３：１０ |