算数実戦編問79の解答

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<解説>

AとBの個数を逆にしたときの買い方を「架空の買い物」と呼ぶことにします。
実際はAを多く買ったので、代金は現実の方が架空よりも多くなります。
おつりは逆に、実際の方が架空よりも少なくなります。
あと、当然ですが「実際と架空の代金の差額」=「実際と架空のおつりの差額」ですね。…(P)

AとBの個数を逆にするということは、310円のAのいくつかを230円のBに取り換えるということです。
1個AをBに取り換えると代金は310−230=80円少なくなるので、現実と架空の代金の差額は80の倍数です。…(Q)
 
実際 310 310 … 310 310 310 … 310 230 230 … 230
架空 310 310 … 310 230 230 … 230 230 230 … 230
差額         80 80 … 80
おつりの100円玉と10円玉の枚数も逆になっていたので、100円玉のいくつかを10円玉に取り換えます。
さっきと同様に考えて、おつりの差額は100−10=90の倍数です。…(R)

(P)(Q)(R)より、おつりの差額は80と90の公倍数になります(つまり720円、1440円、…)。
さて、「100円玉も10円玉も両方もらった」「できるだけ少ない枚数になる」ことから、現実と架空の10円玉の枚数はいずれも1枚以上9枚以下。
このことから、結局現実と架空の100円玉の枚数も1枚以上9枚以下。
この条件でのおつりの差額の最大値は(100円玉1枚と10円玉9枚のときの)720円です。
したがって、おつりの差額=代金の差額は720円であることがわかります!…(S)

ここから先はいろいろな解き方が考えられます。
実際のおつりは100円玉1枚と10円玉9枚で190円、代金は10000−190=9810円。
(Q)(S)より、実際のAはBより720÷80=9個多く買っています。
 
A 310 310 … 310 310 310 … 310
B 230 230 … 230         ←Aより9個少
計 540 540 … 540 310 310 … 310 ←代金9810円
A9個を取り除くと「AとB1個ずつのセット」をちょうど作ることができます。
9810−310×9=7020円より、7020÷(310+230)=13セットできます。
よって実際のBは13個、Aは13+9=22個でした。

正解;A22個、B13個


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