問79の解答

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＜解説＞

ＡとＢの個数を逆にしたときの買い方を「架空の買い物」と呼ぶことにします。
実際はＡを多く買ったので、代金は現実の方が架空よりも多くなります。
おつりは逆に、実際の方が架空よりも少なくなります。
あと、当然ですが「実際と架空の代金の差額」＝「実際と架空のおつりの差額」ですね。…(Ｐ)

ＡとＢの個数を逆にするということは、３１０円のＡのいくつかを２３０円のＢに取り換えるということです。
１個ＡをＢに取り換えると代金は３１０−２３０＝８０円少なくなるので、現実と架空の代金の差額は８０の倍数です。…(Ｑ)

実際　310 310 … 310 310 310 … 310 230 230 … 230 架空　310 310 … 310 230 230 … 230 230 230 … 230 差額　　　　　　　　　80　80 …　80

おつりの１００円玉と１０円玉の枚数も逆になっていたので、１００円玉のいくつかを１０円玉に取り換えます。
さっきと同様に考えて、おつりの差額は１００−１０＝９０の倍数です。…(Ｒ)

(Ｐ)(Ｑ)(Ｒ)より、おつりの差額は８０と９０の公倍数になります(つまり７２０円、１４４０円、…)。
さて、「１００円玉も１０円玉も両方もらった」「できるだけ少ない枚数になる」ことから、現実と架空の１０円玉の枚数はいずれも１枚以上９枚以下。
このことから、結局現実と架空の１００円玉の枚数も１枚以上９枚以下。
この条件でのおつりの差額の最大値は(１００円玉１枚と１０円玉９枚のときの)７２０円です。
したがって、おつりの差額＝代金の差額は７２０円であることがわかります！…(Ｓ)

ここから先はいろいろな解き方が考えられます。
実際のおつりは１００円玉１枚と１０円玉９枚で１９０円、代金は１００００−１９０＝９８１０円。
(Ｑ)(Ｓ)より、実際のＡはＢより７２０÷８０＝９個多く買っています。

Ａ　310 310 … 310 310 310 … 310 Ｂ　230 230 … 230　　　　　　　 ←Ａより９個少 計　540 540 … 540 310 310 … 310 ←代金9810円

Ａ９個を取り除くと「ＡとＢ１個ずつのセット」をちょうど作ることができます。
９８１０−３１０×９＝７０２０円より、７０２０÷(３１０＋２３０)＝１３セットできます。
よって実際のＢは１３個、Ａは１３＋９＝２２個でした。

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