問２解答問２解答
＜解説＞
まず「信号で２回だけ止まる」にはどこで止まればよいかを考えてみましょう。
自動車（以下”車”）がＡを出発してはじめてある地点（Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆのどれか）の信号で止まったとします。
車は信号が青になるまでは止まったままです。そして信号が青になって再出発してからも最初と同じ時速で走ります。
しかも信号はすべて等間隔で並んでいますから、信号が青になって再出発するという状況はＡを出発したときと同じ状況です。
つまり、１度信号で止まってからは「Ａを出発してはじめて信号で止まって再出発する」までと同じことを繰り返すということがわかります！
下の（図１）から、Ｂで止まらずＣで止まれば必ず信号で２回だけ止まってＧに着くことがわかります。
（下図にはＢ，Ｃ，Ｄで止まらずＥで止まったときなどのケースが書いてありませんが、ケース３を見れば１回しか停止しないことは明らかでしょう）
（図１）
それでは条件にあう車の時速を求めてみましょう。（図２）を見てください。
が青信号＆黄信号、つまり止まらずに通過できる範囲、
が赤信号、つまり止まらなければならない範囲を表しています。
（図２）
ＡＣ間の距離は ２２５０×２÷１０００＝４.５ｋｍ です。
信号は ７５秒間は青→５秒間は黄→４０秒間は赤 と１２０秒の周期でいっせいに切り替わります。
Ｃ地点に着いたとき、信号が赤になるようにするには、Ａを出発してから
８０秒〜１２０秒、２００秒〜２４０秒、３２０秒〜３６０秒、…
でＣ地点に着けばいいことが（図２）からもわかります。
１） Ａを出発してから８０秒〜１２０秒かかってＣに着いたとき
この場合、Ｂ地点の信号は必ず青で通過することは明らかですが、１２０秒かかってＣに着いたとしても、
時速は ４.５÷１２０×６０×６０＝１３５ｋｍ で、時速１００ｋｍを越えてしまいますから、不適です。
２） Ａを出発してから２００〜２４０秒かかってＣに着いたとき
この範囲で止まることはできません。なぜなら、この範囲で止まろうとすると、Ｂ地点に着くまでにかかる時間の範囲はＣ地点に着くまでの半分の１００〜１２０秒であり、このときはＢ地点の信号が赤ですから（Ａを出発してから８０秒〜１２０秒は全地点の信号が赤）、２００〜２４０秒かかってＣに着くには、Ｂの赤信号を強行突破しなければならないからです。（注：２４０秒かかってＣに着いたときは信号に１度もかかりません）
３） Ａを出発してから３２０秒〜３６０秒かかってＣに着いたとき
Ｂ地点に着くまでにかかる時間の範囲は、２）
から１６０秒〜１８０秒です。このときはＢの信号は青です。
３２０秒かかってＣに着いたとすると、時速は ４.５÷３２０×６０×６０＝５０.６２５
５０.６２５を越えない整数のうち最大のものは５０ですから、時速５０ｋｍが有力な候補となります。
しかしもしかすると３６０秒かかってＣに着いたときの時速が５０ｋｍより多いかもしれないので、このときの時速を求めると
４.５÷３６０×６０×６０＝４５
時速５０ｋｍは４５ｋｍ〜５０.６２５ｋｍの間に入っています！
あとはＡを出発してからＧに着くまでの時間を求めるだけです。
Ａを出発してからＣの信号で止まって再出発するまで、Ｃを出発してからＥに止まって再出発するまでにかかる時間は（図２）から各３６０秒。
Ｅを出発してＧに着くまでにかかる時間は、ＥＧ間の距離は２２５０×２÷１０００＝４.５ｋｍなので、
４.５÷５０×６０×６０＝３２４秒。
よって３６０×２＋３２４＝１０４４秒＝１７分２４秒
正解；１７分２４秒 |