問１８の解答問１８の解答
＜解説＞
３台の列車の様子をダイヤグラムに書いた後は、普通の旅人算として解こうとするとわけがわからなくなります。他の方法を考えましょう。
まずは３台の列車がＡ駅からＢ駅まで行く様子をダイヤグラムに表してみましょう。
なお、−は普通列車、 −は急行列車、 −は特急列車を表します。
急行列車が普通列車に追いつく地点をＣとします。
急行列車が出発してからＣに来るまでに４分、ＣからＢ駅に着くまでに５分かかっています。
列車は一定の速さで進むので、ＡＣ間とＣＢ間の距離の比は４：５になります。
そして、図で灰色の２つの三角形は相似で、相似比は４：５となります。
したがって、普通列車がＢ駅に着くのは、急行列車と特急列車がＢ駅に着いてから
２×５／４＝２.５分後であるとわかります。
…ここまでが準備。
これより、本題である「１台目の列車が通ってから２台目の列車が通るまでの時間と、２台目の列車が通ってから３台目の列車が通るまでの時間が等しくなる２地点を見つけ出す」作業に入りますが、このままの図では、その地点を探すのは容易ではありません。
そこで、ダイヤグラムに架空の列車を上手く走らせてみると、その２地点が明快に得られます。
以後、−は架空の列車を表すものとします。
この図は、最初のダイヤグラムに、常に急行列車と特急列車の中間地点を通る“幽霊列車１号”を走らせたものです。
すると、幽霊列車１号が普通列車に追いつく地点Ｐが、「急行列車が通ってから普通列車が通るまでの時間と、普通列車が通ってから特急列車が通るまでの時間が等しくなる地点」であることがわかりますね。
この図で灰色の２つの三角形は相似で、相似比は（２＋１.５）：２.５＝７：５です。
よって、ＡＰ間とＰＢ間の距離の比は７：５です。
次に、最初のダイヤグラムに“幽霊列車２号”を走らせてみます。これは、特急列車より後に出発し、急行列車が通ってから特急列車が通るまでの時間と、特急列車が通ってから幽霊列車２号が通るまでの時間が常に等しくなるようにします。
すると、幽霊列車２号が普通列車に追いつく地点Ｑが、「急行列車が通ってから特急列車が通るまでの時間と、特急列車が通ってから普通列車が通るまでの時間が等しくなる地点」であることがわかります。
図で灰色の２つの三角形は相似で、相似比は（２＋３＋３）：２.５＝１６：５です。
よって、ＡＱ間とＱＢ間の距離の比は１６：５です。
さて、ここでＡＢ間の距離を、７＋５＝１２と１６＋５＝２１の最小公倍数の〔８４〕としてみます。
すると、ＡＰ＝〔４９〕、ＰＢ＝〔３５〕、ＡＱ＝〔６４〕、ＱＢ＝〔２０〕となります。
従って、ＰＱ間の距離は〔６４〕−〔４９〕＝〔１５〕と表されるので、ＡＢ間の距離とＰＱ間の距離の比は８４：１５＝２８：５となります。
よって、ＡＢ間の距離は、 １８００×２８／５＝１００８０ｍと求まります。
正解；１００８０ |