問２８の解答問２８の解答
＜解説＞
かなりの難問といえるでしょう。
算数・数学に詳しい人であれば、「最短距離は直線・折れ線の最小値は折り返して直線に」の原則は問題を見た瞬間に思い浮かんだことでしょう。
ところが、この問題はそれだけではロープの長さを最短にする方法を特定することはできません。
まずは最短距離問題の定石通り、図形を折り返して考えます。
三角形ＡＢＣをＡＣを軸として折り返すとき、移動後のＢをＢ'そしてＥをＥ'、三角形ＡＢＣをＡＢを軸として折り返すとき、移動後のＣをＣ"そしてＥをＥ"とします。
このとき、Ｅの位置にかかわらず、対称性よりＦＥ＝ＦＥ'、ＤＥ＝ＤＥ"となります。
ということは、ロープの長さの和つまりＥＦ＋ＦＤ＋ＤＥは、Ｅ'Ｆ＋ＦＤ＋ＤＥ"の長さの和に等しくなります。
では、Ｅ'Ｆ＋ＦＤ＋ＤＥ"の長さを短くするにはどうしたらいいのでしょうか？
それは「Ｅ"からＥ'まで行くのに遠回りや寄り道をしなければよい」ということになります。
つまり、Ｅ"とＥ'の２点を直線で結べばＯＫ！というわけです。
しかし、この問題はここで終わりではありません。
今まではＥの位置をまったく議論していません。
ＥをＢＣ上のどこに取るかによって、Ｅ"とＥ'の２点を直線で結ぶ方法というのはいくらでも考えられます。
よって、今度はその中でもロープの長さを最短にできるＥの位置を考えます。
ただＥ"とＥ'を直線で結んだだけの図をにらんでいても、最短になるようなものは見当もつかないでしょう。
そんなときには迷わず補助線を引いてみよう、というわけで、ＡとＥ'、ＡとＥ"をともに直線で結んでみます。
三角形ＡＣＥ'と三角形ＡＣ"Ｅ"は合同です。これはＡＣ＝ＡＣ"、ＣＥ'＝Ｃ"Ｅ"、角ＡＣＥ'＝角ＡＣ"Ｅ"より、２辺とその間の角がそれぞれ等しいからですが、まぁこれに関しては直感でも明らかでしょう。
合同な三角形の対応する角度や辺の長さは等しいので、角Ｅ'ＡＣ＝角Ｅ"ＡＣ"、ＡＥ'＝ＡＥ"となります。
ここで、角Ｅ'ＡＥ"＝角Ｅ'ＡＣ＋角ＣＡＢ＋角ＢＡＥ"＝角ＣＡＢ＋角ＢＡＥ"＋角Ｅ"ＡＣ"ですが、角ＣＡＢ＝６０度、そして角ＢＡＥ"＋角Ｅ"ＡＣ"＝角ＢＡＣ"＝６０度なので、角Ｅ'ＡＥ"＝１２０度となります。
さらに、ＡＥ'＝ＡＥ"ですから、三角形ＡＥ"Ｅ'は、Ｅの位置によらず、等しい２辺からなる内角が１２０度の二等辺三角形となります。
つまり、ＡＥ"Ｅ'は常に相似なんです。
よって、ＡＥ'の長さが最短のとき、Ｅ"Ｅ'の長さも最短になります。
ＡＥ'の長さを最短にするには、Ａと辺ＣＢ'の距離が最も短い位置にＥ'を取ればいいことになります。
つまり、ＡＥ'とＣＢ'が直角をなすとき、ＡＥ'の長さは最短になり、同時にＥ"Ｅ'の長さも最短になります。
このとき、ＤとＦの位置も決定しますね。
さて、あと一息ですが、ロープの長さを求めるのがやはりちと難しい。
中学入試ではすっかりお馴染みの「３０度定規」の形を利用しますが、一工夫必要です。
※以下、点Ｄ、Ｅ、Ｆ、Ｅ'、Ｅ"は、ロープの長さが最短の位置にある場合を考えています。
まずＣからＡＢに向けて垂線を引き、その足をＨとします。 …（☆）
このとき三角形ＡＢＣの面積は、 ＡＢ×ＣＨ÷２ や ＣＢ'×ＡＥ'÷２ といった表し方があります。
これより、５６×ＣＨ＝４９×ＡＥ'となるので、ＣＨ：ＡＥ'＝７：８とわかります。
次に、Ｅ"Ｅ'の真ん中の点をＭとし、ＡＥ"を軸として三角形ＡＥ"Ｍを折り返し、三角形ＡＥ"Ｍ'を作ります。
すると、角Ｍ'Ｅ"Ｅ'＝３０度×２＝６０度です。
また、ＡＥ'＝<８>とすると、ＡＭ＝<４>＝ＡＭ'ですから、Ｅ'Ｍ'＝<１２>となります。 （ついでに、ＣＨ＝<７>です）
さてここで、三角形ＣＡＨと三角形Ｅ'Ｅ"Ｍ'はともに「３０度定規」の形なので相似です。
この２つの三角形について比例式を作ると、
ＡＣ：ＣＨ＝Ｅ"Ｅ'：Ｅ'Ｍ' … ３５：<７>＝Ｅ"Ｅ'：<１２>
となりますから、Ｅ"Ｅ'＝３５×１２／７＝６０ｍ＝ロープの長さ と求まります。
[発展事項]
（☆）のとき、実は点Ｄと点Ｈは一致します。同様に、ＢからＡＣに向けて引いた垂線の足と点Ｅは一致します。
これは、すべての鋭角三角形（＝内角がすべて９０度より小さい三角形）について言えます。
このことから、鋭角三角形の場合において、ロープの長さを最短にする方法は、三角形の各頂点から下ろした垂線の足を結んでできる三角形を作ればいいということになります。
| 正解；６０ｍ |