問３０の解答問３０の解答
＜解説＞
駅の数が少ない場合で実験して、手がかりを見つけましょう。
駅が２つしかないときは、明らかに１通りしかありません。
では、新しい駅を終点の手前に作って駅を３つにした場合はどうでしょうか。
停車する駅を○と表して考えてみます。
駅が３つの場合、真ん中の駅に「行き帰りとも止まる」「行きだけ止まる」「帰りだけ止まる」の３通りあります。
| １ | ２ | ３ | １ | ２ | ３ | １ | ２ | ３ | |||||
| 行き | ○ | ○ | ○ | 行き | ○ | ○ | ○ | 行き | ○ | × | ○ | ||
| 帰り | ○ | ○ | ○ | 帰り | ○ | × | ○ | 帰り | ○ | ○ | ○ |
ここで、駅が全部でｎつあるとき、新しく追加した駅において
「行き帰りとも止まる」方法『Ａn』通り、「行きだけ止まる」方法『Ｂn』通り、「帰りだけ止まる」方法『Ｃn』通り
と表すことにします。
たとえば駅が全部で３つあるとき、 Ａ3＝１通り、 Ｂ3＝１通り、 Ｃ3＝１通り と書けます。
では、駅をさらに増やして４つになった場合、どんな止まり方があるかを考えてみましょう。
駅が３つの場合をうまく利用すれば、ぐんと数えやすくなります。
| Ａ3 | １ | ２ | 新 | ３ | Ｂ3 | １ | ２ | 新 | ３ | Ｃ3 | １ | ２ | 新 | ３ | ||
| 行き | ○ | ○ | ？ | ○ | 行き | ○ | ○ | ？ | ○ | 行き | ○ | × | ？ | ○ | ||
| 帰り | ○ | ○ | ？ | ○ | 帰り | ○ | × | ？ | ○ | 帰り | ○ | ○ | ？ | ○ |
さあ慣れましたか？駅が５つの場合
| Ａ4 | … | ３ | 新 | ４ | Ｂ4 | … | ３ | 新 | ４ | Ｃ4 | … | ３ | 新 | ４ | ||
| 行き | 略 | ○ | ？ | ○ | 行き | 略 | ○ | ？ | ○ | 行き | 略 | × | ？ | ○ | ||
| 帰り | 略 | ○ | ？ | ○ | 帰り | 略 | × | ？ | ○ | 帰り | 略 | ○ | ？ | ○ |
以下同様にして、
駅が６つの場合、
Ａ6＝Ａ5＋Ｂ5＋Ｃ5＝７＋５＋５＝１７通り
Ｂ6＝Ａ5＋Ｃ5＝７＋５＝１２通り
Ｃ6＝Ａ5＋Ｂ5＝７＋５＝１２通り
駅が７つの場合、
Ａ7＝Ａ6＋Ｂ6＋Ｃ6＝１７＋１２＋１２＝４１通り
Ｂ7＝Ａ6＋Ｃ6＝１７＋１２＝２９通り
Ｃ7＝Ａ6＋Ｂ6＝１７＋１２＝２９通り
駅が８つの場合、
Ａ8＝Ａ7＋Ｂ7＋Ｃ7＝４１＋２９＋２９＝９９通り
Ｂ8＝Ａ7＋Ｃ7＝４１＋２９＝７０通り
Ｃ8＝Ａ7＋Ｂ7＝４１＋２９＝７０通り
駅が９つの場合、
Ａ9＝Ａ8＋Ｂ8＋Ｃ8＝９９＋７０＋７０＝２３９通り
Ｂ9＝Ａ8＋Ｃ8＝９９＋７０＝１６９通り
Ｃ9＝Ａ8＋Ｂ8＝９９＋７０＝１６９通り
以上より ２３９＋１６９＋１６９＝５７７通り です。
正解；５７７通り |