問38の解答

問題に戻る

＜解説＞

この問題は、実は有名なゲーム「３山崩し」と同値なゲームです。

「３山崩し」のルールは以下の通りです。
▼イ▼碁石がそれぞれＡ個、Ｂ個、Ｃ個集まった３つの山がある
▼ロ▼１つの山を選んで好きなだけ碁石を取ることができる。ただし１度に複数の山から碁石を取ることは出来ない
▼ハ▼先攻・後攻が変わりばんこに碁石を取っていき、最後に碁石を取り尽くした方が勝ち

最初の切断可能箇所は、縦方向１０箇所、横方向１６箇所、高さ方向１８箇所です。
最後に１辺１cmの立方体が残ったとき、切断可能箇所は存在しません。

そこで、今回のゲームは次のように解釈すると、「３山崩し」そのものです。
▽い▽直方体の切断可能箇所が縦方向Ａ箇所・横方向Ｂ箇所、高さ方向Ｃ箇所ある
▽ろ▽縦方向、横方向、高さ方向のいずれかで直方体を１回だけ切断して２つに分け、好きな方を残す
▽は▽先攻・後攻が変わりばんこに切断していき、最後に切断可能箇所をなくした方が勝ち

さて「３山崩し」の必勝法はよく知られていて、
　『３つの山の碁石の個数を２進数表示し、排他的論理和を計算し、これが０になるような手を作る』　…★
というものです。　
「排他的論理和」とは、繰りあがりのない２進数の足し算のことです。
例えば、「１＋０＝１」「１＋１＝０」「１＋１＋１＝１」「１＋０＋１＋１＋１＝０」といった具合です。

…これではさっぱりわけがわからないと思うので、まずは２進法に直しましょう。
１０＝１×２×２×２＋０×２×２＋１×２＋０→１０１０(2)
１６＝１×２×２×２×２＋０×２×２×２＋０×２×２＋０×２＋０→１００００(2)
１８＝１×２×２×２×２＋０×２×２×２＋０×２×２＋１×２＋０→１００１０(2)

先手は、この排他的論理和が０になるようにすればいいのです。

そのような方法は、８の位（２×２×２の位）が１のものを０にするしかありません。
（排他的論理和がせっかく０になっている位をいじってしまうと、その位の排他的論理和が１になってしまいます）

１６と１８を２進数に直した数の８の位の「０」を「１」にすると、もとの数より大きくなってしまうので不適です。
よって、１０を２進数に直した数の８の位の「１」を「０」にしたときのみ、排他的論理和は０００００、つまり０になります。

したがって、０１０１０(2)を０００１０(2)にする、つまり１０を２にすればよいのです。

話を直方体の場合に戻すと、
切断可能箇所がそれぞれ（１０，１６，１８）だったのを、先手が（２，１６，１８）にすればよいのです。
残った立体は、３×１７×１９の直方体ですから、食べたのは８×１７×１９＝２５８４cm³です。

（注１）
★が確かな方法であることの証明は大変難しいのでここでは省略します。
例えば、栗原さんのページに詳しい証明解説があります。

（注２）
★のようなことを知らなくても、試してみれば簡単な必勝形…（２，２，０）（１，２，３）など…はいくつか見つかります。
他にも必勝形はあるので、いろいろ試して見つけてみるといいでしょう。（寧ろそっちの方が一般的な算数としてふさわしい）

問題に戻る