問41の解答問41の解答
＜解説＞
相当な難問（特に最大値）ですが、最も接戦になる状況を考えるのがコツである“当選確実問題”のような感じで考えていけば何とかなるかもしれません。
書かれてある数字が大きい方から順に「１位、２位、…」と表すことにします。
まずは、勝利条件・敗北条件について考察します。
操作(ア)や操作(イ)で選ばれたカードは、操作(ウ)で取り除かれたり、より大きな数字に書き換えられます。
従って、赤いカードが(ア)(イ)で選ばれた時点で「もとの数が書かれたままで残らない」ため、敗北となります。
操作(ア)(イ)で選ばれるカードは、要は下位２枚のカードです。
残り３枚以上のときに赤いカードが２位以下だと、いずれ必ず操作(ア)か(イ)で選ばれてしまうことになります。
（どんなにうまくいっても、残り３枚のときに操作(ア)か(イ)で選ばれてしまうので敗北です）
裏を返せば、残り３枚のときまでもとの数が書かれたままで単独１位であれば必ず勝利します。
また、赤いカードは残り３枚のときまでもとの数が書かれたままで同率１位を保っていれば勝利も敗北もあり得ます。
（候補が複数あればランダムに選ばれるので）
★まとめ（勝利条件＆敗北条件）
・残り３枚以上のときに赤いカードが２位以下だと敗北。
・残り３枚のときまで赤いカードが同率１位であれば勝利も敗北もありうる。
・残り３枚のときまで赤いカードが単独１位であれば勝利。
さてここからが本題。
まずは、必ず敗北するような場合を考えます。
もし勝利するならば、残り３枚のときまで赤カードはもとの数が書かれたままで残っています。
このとき、３枚のカードの数字とも同じ（１００÷３＝１００／３）であれば、最後の操作(ア)(イ)で選ばれなければ勝利できます。
しかし、赤カードの数字が１００／３より小さければ、赤以外のカードの少なくとも１枚は赤カードより大きい数字となります。
よってこのとき赤カードは操作(ア)か(イ)で選ばれることになり、敗北となります。
★まとめ（赤カード最小値）
・赤カードが１００／３より小さいとき、必ず敗北する。
・赤カードが１００／３のときは勝利も敗北もありうる。具体例は以下の通り。
１００／３（赤）、５０／３が３枚、２５／９が６枚
次に、必ず勝利するような場合を考えてみます。
以下、赤カードの数字をＲと表すことにします。
残り４枚の段階で考えてみます。上位から順に
Ｒ、Ａ、Ｂ、Ｃ
となっているとします。ここから操作(ア)〜(ウ)を行ったとき、残っているのは「Ｒ」と「Ｂ＋Ｃ」と「Ａ」の３枚。
ここで「Ｂ＋Ｃ」のカードが「Ｒ」以上になれば、赤カードは単独１位を保てず敗北する可能性があります。
そこで、もっとも緊迫した場合を考えるため「Ｒ」＝「Ｂ＋Ｃ」＞Ａと仮定します。
すると、残り４枚の段階でＡ≧Ｂだったため、「Ａ」の数字は「Ｒ」の半分以上であることがわかります。
Ｒ＝[２]とすると、Ｂ＋Ｃ＝[２]、Ａ≧[１] より、Ｒは１００÷（２＋２＋１）＝４０以下。
Ｒが４０より大きいときは、必ず勝利します。
これを背理法で証明してみます。
このとき敗北すると仮定してみると、
次のような状況が必ず起こります。（カードを上位から順に並べて考えています）
Ｒ、ア、…、イ、ウ
↓
(イ＋ウ)、Ｒ、ア、…
イ＋ウは、Ｒ以上、つまり４０より大。
アは、イ以上の数なので４０÷２＝２０より大。
このとき、数字の和は
４０＋４０＋２０＝１００より大
となり、カードの数字の合計を超えてしまい、矛盾です。
★まとめ（赤カード最大値）
・赤カードが４０より大きいとき、必ず勝利する
・赤カードが４０のときは勝利も敗北もありうる。具体例は以下の通り。
４０（赤）、２０、５が８枚
以上より、赤カードの数字が１００/３以上４０以下であれば、「勝利」も「敗北」もあり得ます。
| 正解；最小値１００/３ 最大値４０ |