問68の解答問68の解答
＜解説＞
まずは、軽いおもりを用いて実験すると次のようになります。
※表の見方
・赤と青と緑…１つのおもりの重さ
・薄赤…赤のおもりのみで作れる重さ
・薄青…青のおもりのみで作れる重さ
・薄緑…緑のおもりのみで作れる重さ
・灰色…複数種類のおもりで作れる重さ
以上のことから、
・白…つりあわせることのできない重さ
となります。
もちろん、つりあわせることのできない重さの砂袋は、重さを特定できない砂袋の有力候補です。
ここで、上の実験から、つりあわせることのできないの個数に規則性を発見します。
緑のおもりの重さが４ｇ(４÷２＝２)のとき３＋１＝４＝２×２
緑のおもりの重さが６ｇ(６÷２＝３)のとき５＋３＋１＝９＝３×３
緑のおもりの重さが８ｇ(８÷２＝４)のとき７＋５＋３＋１＝１６＝４×４
…と、緑のおもりの重さが偶数ｇのとき、つりあわせることのできない重さの個数は四角数(平方数)になっています。
今回は重さを特定できない砂袋が１００個未満の場合を求める問題ですね。。
１００＝１０×１０ですから、緑のおもりの重さが１０×２＝２０ｇのとき、つりあわせることのできない砂袋は１００個あります。
ところで、つりあわせることのできない重さの砂袋は、重さを特定できない砂袋なのでしょうか？
結論から言うと、それはノーです！
例えば、緑のおもりの重さが４ｇ(青５ｇ、赤６ｇ)のときを考えます。
７ｇの砂袋は上で検証したとおり、つりあわせることができません。しかし、６ｇと８ｇは作ることができます。
ある砂袋を左の皿に置き、６ｇのおもりを右の皿に置くと左が下がり、８ｇのおもりを右の皿に置くと右が下がる
この砂袋は６ｇより重く８ｇより軽い…砂袋の重さは整数ｇなのですから、砂袋は７ｇであると特定できるのです！
同様のことが、緑のおもりの重さが６ｇのときの１７ｇの砂袋、緑の重さが８ｇのときの３１ｇの砂袋にも言えます。
同様に考えて、緑のおもりの重さが２０ｇのとき、１００−１＝９９個の砂袋の重さが特定できません。
よって明らかにこの場合に緑のおもりの重さが最大で、このとき青は２１ｇ、赤は２２ｇとなります。
正解；(１)２２ｇ (２)１７９ｇ |