算数限界編問69の解答

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＜解説＞

難問です。当然(？)ダイヤグラムを描いて解くことになりますが、工夫が必要になります。

まず、ぴー君とかー君の様子を「エスカレーターに乗って観察した」ダイヤグラムを描きます。


このとき、エスカレーターは止まって見え、代わりに３階の床と４階の床が下っているように見えるはずです。
じっとしているぴー君は同じ位置にいて、かー君は上りも下りも同じ速さで歩いていることになります。
こうすると、ダイヤグラムで三角形の相似や、二等辺三角形を見つけやすくなります。

右図は、ダイヤグラムにいろいろ線を書き加えたものです。
横線Ｔ-Ｕは、かー君が４階に戻って来た瞬間に、３階から「ぴー君２号」がじっとしたまま旅立った様子です。
横線Ｔ-Ｕは、横線Ｐ-Ｑと全く同じ状況であることがわかるでしょうか？
(両方とも、「かー君が４階を出発すると同時に、３階からじっとしている人がエスカレーターに乗った様子」ですよね)
よって、図のＵＤ＝ＱＢ＝ＲＥ＝２０段、ＥＵ＝５２−２０×２＝１２段とわかります。



ここで、じっとしているぴー君が、３階の床から１段ぶん離れるのにかかる時間を[１]とします。
ＰＱとＴＵは(ぴー君が３階の床から２０段ぶん離れるまでの時間なので)[２０]となります。
ここから、ダイヤグラムをとことん図形的に分析していきます。


上左図において、△ＰＱＢと△ＰＲＤは相似で、相似比は２０段：５２段。
よってＰＲ＝[５２]、ＱＲ＝[５２]−[２０]＝[３２]。

上中図において、△ＣＢＦは二等辺三角形なので、ＢＭ＝ＭＦ。
ＢＭ＝ＱＲ−ＴＵ＝[３２]−[２０]＝[１２]。
よってＭＦ＝ＢＭ＝[１２]。ＦＥ＝ＢＥ−ＴＵ＝[２０]−[１２]＝[８]。

続いて上中図において、△ＦＥＤと△ＦＭＣと△ＳＱＢはともに相似です。
比例式[８]：[１２]：ＳＱ＝３２段：ＭＣ：２０段より、ＳＱ＝[５]、ＭＣ＝４８段。
エスカレーターの段数はＡＰ＝ＣＴ＝ＣＭ＋ＭＴですから、４８段＋１２段＝６０段。　→[ ア ]の答え

次に[ イ ]は、上右図のＹＳの段数にあたります。
上右図において、ＰＳ＝[２０]−[５]＝[１５]。
△ＰＱＢと△ＰＳＸは相似で、[２０]：[１５]＝２０段：ＳＸより、ＳＸ＝１５段。
よってＹＳ＝６０−１５＝４５段。　→[ イ ]の答え

※ダイヤグラムより、かー君の歩く速さとエスカレーターの速さの比は４：１とわかります。
※解説でお気付きでしょうが、「３５段」の条件はなくても解けてしまいます…(^^;


正解；ア＝６０　イ＝４５

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